十大经典排序算法
0、排序算法说明
0.1 排序的定义
对一序列对象根据某个关键字进行排序。
0.2 术语说明
- 稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面；
- 不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后a可能会出现在b的后面；
- 内排序：所有排序操作都在内存中完成；
- 外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行；
- 时间复杂度： 一个算法执行所耗费的时间。
- 空间复杂度：运行完一个程序所需内存的大小。
0.3 算法总结
图片名词解释：
- n: 数据规模
- k: “桶”的个数
- In-place: 占用常数内存，不占用额外内存
- Out-place: 占用额外内存
0.5 算法分类
0.6 比较和非比较的区别
常见的快速排序、归并排序、堆排序、冒泡排序等属于比较排序。在排序的最终结果里，元素之间的次序依赖于它们之间的比较。每个数都必须和其他数进行比较，才能确定自己的位置。
在冒泡排序之类的排序中，问题规模为n，又因为需要比较n次，所以平均时间复杂度为O(n²)。在归并排序、快速排序之类的排序中，问题规模通过分治法消减为logN次，所以时间复杂度平均O(nlogn)。
比较排序的优势是，适用于各种规模的数据，也不在乎数据的分布，都能进行排序。可以说，比较排序适用于一切需要排序的情况。
计数排序、基数排序、桶排序则属于非比较排序。非比较排序是通过确定每个元素之前，应该有多少个元素来排序。针对数组arr，计算arr[i]之前有多少个元素，则唯一确定了arr[i]在排序后数组中的位置。
非比较排序只要确定每个元素之前的已有的元素个数即可，所有一次遍历即可解决。算法时间复杂度O(n)。
非比较排序时间复杂度底，但由于非比较排序需要占用空间来确定唯一位置。所以对数据规模和数据分布有一定的要求。
todo： 考虑用compare替换数值间的比较
1、冒泡排序（Bubble Sort）
冒泡排序是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
1.1 算法描述
- 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；
- 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
- 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
- 重复步骤1~3，直到排序完成。
1.2 动图演示
1.3 代码实现
1 /**
2 * 冒泡排序
3 *
4 * @param array
5 * @return
6 */
7 public static int[] bubbleSort(int[] array) {
8 if (array.length == 0)
9 return array;
10 for (int i = 0; i < array.length; i++)
11 for (int j = 0; j < array.length - 1 - i; j++)
12 if (array[j + 1] < array[j]) {
13 int temp = array[j + 1];
14 array[j + 1] = array[j];
15 array[j] = temp;
16 }
17 return array;
18 }1.4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(n) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)
2、选择排序（Selection Sort）
表现最稳定的排序算法之一，因为无论什么数据进去都是O(n2)的时间复杂度，所以用到它的时候，数据规模越小越好。唯一的好处可能就是不占用额外的内存空间了吧。理论上讲，选择排序可能也是平时排序一般人想到的最多的排序方法了吧。
选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。
2.1 算法描述
n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。具体算法描述如下：
- 初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空；
- 第i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(i..n）。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R[i+1..n)分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区；
- n-1趟结束，数组有序化了。
2.2 动图演示
2.3 代码实现
/**
* 选择排序
* @param array
* @return
*/
public static int[] selectionSort(int[] array) {
if (array.length == 0)
return array;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
int minIndex = i;
for (int j = i; j < array.length; j++) {
if (array[j] < array[minIndex]) //找到最小的数
minIndex = j; //将最小数的索引保存
}
int temp = array[minIndex];
array[minIndex] = array[i];
array[i] = temp;
}
return array;
}2.4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(n2) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)
3、插入排序（Insertion Sort）
插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序），因而在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。
3.1 算法描述
一般来说，插入排序都采用in-place在数组上实现。具体算法描述如下：
- 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；
- 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；
- 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；
- 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；
- 将新元素插入到该位置后；
- 重复步骤2~5。
3.2 动图演示
3.2 代码实现
/**
* 插入排序
* @param array
* @return
*/
public static int[] insertionSort(int[] array) {
if (array.length == 0)
return array;
int current;
for (int i = 0; i < array.length - 1; i++) {
current = array[i + 1];
int preIndex = i;
while (preIndex >= 0 && current < array[preIndex]) {
array[preIndex + 1] = array[preIndex];
preIndex--;
}
array[preIndex + 1] = current;
}
return array;
}3.4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(n) 最坏情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)
4、希尔排序（Shell Sort）
希尔排序是希尔（Donald Shell）于1959年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序，同时该算法是冲破O(n2）的第一批算法之一。它与插入排序的不同之处在于，它会优先比较距离较远的元素。希尔排序又叫缩小增量排序。
希尔排序是把记录按下表的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。
4.1 算法描述
我们来看下希尔排序的基本步骤，在此我们选择增量gap=length/2，缩小增量继续以gap = gap/2的方式，这种增量选择我们可以用一个序列来表示，{n/2,(n/2)/2…1}，称为增量序列。希尔排序的增量序列的选择与证明是个数学难题，我们选择的这个增量序列是比较常用的，也是希尔建议的增量，称为希尔增量，但其实这个增量序列不是最优的。此处我们做示例使用希尔增量。
先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，具体算法描述：
- 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
- 按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；
- 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。
4.2 过程演示
4.3 代码实现
/**
* 希尔排序
*
* @param array
* @return
*/
public static int[] ShellSort(int[] array) {
int len = array.length;
int temp, gap = len / 2;
while (gap > 0) {
for (int i = gap; i < len; i++) {
temp = array[i];
int preIndex = i - gap;
while (preIndex >= 0 && array[preIndex] > temp) {
array[preIndex + gap] = array[preIndex];
preIndex -= gap;
}
array[preIndex + gap] = temp;
}
gap /= 2;
}
return array;
}4.4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(nlog2 n) 最坏情况：T(n) = O(nlog2 n) 平均情况：T(n) =O(nlog2n)
5、归并排序（Merge Sort）
和选择排序一样，归并排序的性能不受输入数据的影响，但表现比选择排序好的多，因为始终都是O(n log n）的时间复杂度。代价是需要额外的内存空间。
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。归并排序是一种稳定的排序方法。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。
5.1 算法描述
- 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
- 对这两个子序列分别采用归并排序；
- 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
5.2 动图演示
5.3 代码实现
/**
* 归并排序
*
* @param array
* @return
*/
public static int[] MergeSort(int[] array) {
if (array.length < 2) return array;
int mid = array.length / 2;
int[] left = Arrays.copyOfRange(array, 0, mid);
int[] right = Arrays.copyOfRange(array, mid, array.length);
return merge(MergeSort(left), MergeSort(right));
}
/**
* 归并排序——将两段排序好的数组结合成一个排序数组
*
* @param left
* @param right
* @return
*/
public static int[] merge(int[] left, int[] right) {
int[] result = new int[left.length + right.length];
for (int index = 0, i = 0, j = 0; index < result.length; index++) {
if (i >= left.length)
result[index] = right[j++];
else if (j >= right.length)
result[index] = left[i++];
else if (left[i] > right[j])
result[index] = right[j++];
else
result[index] = left[i++];
}
return result;
}5. 4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(n) 最差情况：T(n) = O(nlogn) 平均情况：T(n) = O(nlogn)
6、快速排序（Quick Sort）
快速排序的基本思想：通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。
6.1 算法描述
快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：
- 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
- 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
- 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
5.2 动图演示
5.3 代码实现
/**
* 快速排序方法
* @param array
* @param start
* @param end
* @return
*/
public static int[] QuickSort(int[] array, int start, int end) {
if (array.length < 1 || start < 0 || end >= array.length || start > end) return null;
int smallIndex = partition(array, start, end);
if (smallIndex > start)
QuickSort(array, start, smallIndex - 1);
if (smallIndex < end)
QuickSort(array, smallIndex + 1, end);
return array;
}
/**
* 快速排序算法——partition
* @param array
* @param start
* @param end
* @return
*/
public static int partition(int[] array, int start, int end) {
int pivot = (int) (start + Math.random() * (end - start + 1));
int smallIndex = start - 1;
swap(array, pivot, end);
for (int i = start; i <= end; i++)
if (array[i] <= array[end]) {
smallIndex++;
if (i > smallIndex) //当前smallIndex处为与i间首个大于基准的
swap(array, i, smallIndex);
}
return smallIndex;
}
private static int partition3(int[] nums, int start, int end) {
int pivot = (int) (Math.random() * (end - start + 1)) + start; // 随机取一个标识，打乱一下，避免极端情况下（倒序）n^2的问题
swap(nums, start, pivot);
var index = start;
for (int i = start + 1; i <= end; i++) {
if (nums[i] < nums[start]) // 升序，这里带不带等于都行，把等于分到哪一侧好像区别不大
swap(nums, ++index, i); // 把index后移一位，再与其交换，这样index及其前的都不比基准大
}
swap(nums, start, index); // 最后把基准放到index处
return index;
}
/**
* 交换数组内两个元素
* @param array
* @param i
* @param j
*/
public static void swap(int[] array, int i, int j) {
int temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}5.4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(nlogn) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(nlogn)
7、堆排序（Heap Sort）
堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
7.1 算法描述
- 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
- 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；
- 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。
7.2 动图演示
7.3 代码实现
注意：这里用到了完全二叉树的部分性质：详情见[《数据结构二叉树知识点总结》]
//声明全局变量，用于记录数组array的长度；
static int len;
/**
* 堆排序算法
*
* @param array
* @return
*/
public static int[] HeapSort(int[] array) {
len = array.length;
if (len < 1) return array;
//1.构建一个最大堆
buildMaxHeap(array);
//2.循环将堆首位（最大值）与末位交换，然后在重新调整最大堆
while (len > 0) {
swap(array, 0, len - 1);
len--;
adjustHeap(array, 0);
}
return array;
}
/**
* 建立最大堆
*
* @param array
*/
public static void buildMaxHeap(int[] array) {
//从最后一个非叶子节点开始向上构造最大堆
for (int i = (len/2 - 1); i >= 0; i--) { //感谢 @让我发会呆 网友的提醒，此处应该为 i = (len/2 - 1)
adjustHeap(array, i);
}
}
/**
* 调整使之成为最大堆
*
* @param array
* @param i
*/
public static void adjustHeap(int[] array, int i) {
int maxIndex = i;
//如果有左子树，且左子树大于父节点，则将最大指针指向左子树
if (i * 2 < len && array[i * 2] > array[maxIndex])
maxIndex = i * 2;
//如果有右子树，且右子树大于父节点，则将最大指针指向右子树
if (i * 2 + 1 < len && array[i * 2 + 1] > array[maxIndex])
maxIndex = i * 2 + 1;
//如果父节点不是最大值，则将父节点与最大值交换，并且递归调整与父节点交换的位置。
if (maxIndex != i) {
swap(array, maxIndex, i);
adjustHeap(array, maxIndex);
}
}7.4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(nlogn) 最差情况：T(n) = O(nlogn) 平均情况：T(n) = O(nlogn)
8、计数排序（Counting Sort）
计数排序的核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。 作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。
计数排序(Counting sort)是一种稳定的排序算法。计数排序使用一个额外的数组C，其中第i个元素是待排序数组A中值等于i的元素的个数。然后根据数组C来将A中的元素排到正确的位置。它只能对整数进行排序。
8.1 算法描述
- 找出待排序的数组中最大和最小的元素；
- 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项；
- 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）；
- 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1。
8.2 动图演示
8.3 代码实现
/**
* 计数排序
*
* @param array
* @return
*/
public static int[] CountingSort(int[] array) {
if (array.length == 0) return array;
int bias, min = array[0], max = array[0];
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
if (array[i] > max)
max = array[i];
if (array[i] < min)
min = array[i];
}
bias = 0 - min;
int[] bucket = new int[max - min + 1];
Arrays.fill(bucket, 0);
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
bucket[array[i] + bias]++;
}
int index = 0, i = 0;
while (index < array.length) {
if (bucket[i] != 0) {
array[index] = i - bias;
bucket[i]--;
index++;
} else
i++;
}
return array;
}8.4 算法分析
当输入的元素是n 个0到k之间的整数时，它的运行时间是 O(n + k)。计数排序不是比较排序，排序的速度快于任何比较排序算法。由于用来计数的数组C的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组的最大值与最小值的差加上1），这使得计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量时间和内存。
最佳情况：T(n) = O(n+k) 最差情况：T(n) = O(n+k) 平均情况：T(n) = O(n+k)
9、桶排序（Bucket Sort）
桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。
桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排
9.1 算法描述
- 人为设置一个BucketSize，作为每个桶所能放置多少个不同数值（例如当BucketSize==5时，该桶可以存放｛1,2,3,4,5｝这几种数字，但是容量不限，即可以存放100个3）；
- 遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去；
- 对每个不是空的桶进行排序，可以使用其它排序方法，也可以递归使用桶排序；
- 从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来。
注意，如果递归使用桶排序为各个桶排序，则当桶数量为1时要手动减小BucketSize增加下一循环桶的数量，否则会陷入死循环，导致内存溢出。
9.2 图片演示
9.3 代码实现
/**
* 桶排序
*
* @param array
* @param bucketSize
* @return
*/
public static ArrayList<Integer> BucketSort(ArrayList<Integer> array, int bucketSize) {
if (array == null || array.size() < 2)
return array;
int max = array.get(0), min = array.get(0);
// 找到最大值最小值
for (int i = 0; i < array.size(); i++) {
if (array.get(i) > max)
max = array.get(i);
if (array.get(i) < min)
min = array.get(i);
}
int bucketCount = (max - min) / bucketSize + 1;
ArrayList<ArrayList<Integer>> bucketArr = new ArrayList<>(bucketCount);
ArrayList<Integer> resultArr = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < bucketCount; i++) {
bucketArr.add(new ArrayList<Integer>());
}
for (int i = 0; i < array.size(); i++) {
bucketArr.get((array.get(i) - min) / bucketSize).add(array.get(i));
}
for (int i = 0; i < bucketCount; i++) {
if (bucketSize == 1) { // 如果带排序数组中有重复数字时 感谢 @见风任然是风 朋友指出错误
for (int j = 0; j < bucketArr.get(i).size(); j++)
resultArr.add(bucketArr.get(i).get(j));
} else {
if (bucketCount == 1)
bucketSize--;
ArrayList<Integer> temp = BucketSort(bucketArr.get(i), bucketSize);
for (int j = 0; j < temp.size(); j++)
resultArr.add(temp.get(j));
}
}
return resultArr;
}9.4 算法分析
桶排序最好情况下使用线性时间O(n)，桶排序的时间复杂度，取决与对各个桶之间数据进行排序的时间复杂度，因为其它部分的时间复杂度都为O(n)。很显然，桶划分的越小，各个桶之间的数据越少，排序所用的时间也会越少。但相应的空间消耗就会增大。
最佳情况：T(n) = O(n+k) 最差情况：T(n) = O(n+k) 平均情况：T(n) = O(n2)
10、基数排序（Radix Sort）
基数排序也是非比较的排序算法，对每一位进行排序，从最低位开始排序，复杂度为O(kn),为数组长度，k为数组中的数的最大的位数；
基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以是稳定的。
10.1 算法描述
- 取得数组中的最大数，并取得位数；
- arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；
- 对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；
10.2 动图演示
10.3 代码实现
/**
* 基数排序
* @param array
* @return
*/
public static int[] RadixSort(int[] array) {
if (array == null || array.length < 2)
return array;
// 1.先算出最大数的位数；
int max = array[0];
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
max = Math.max(max, array[i]);
}
int maxDigit = 0;
while (max != 0) {
max /= 10;
maxDigit++;
}
int mod = 10, div = 1;
ArrayList<ArrayList<Integer>> bucketList = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
for (int i = 0; i < 10; i++)
bucketList.add(new ArrayList<Integer>());
for (int i = 0; i < maxDigit; i++, mod *= 10, div *= 10) {
for (int j = 0; j < array.length; j++) {
int num = (array[j] % mod) / div;
bucketList.get(num).add(array[j]);
}
int index = 0;
for (int j = 0; j < bucketList.size(); j++) {
for (int k = 0; k < bucketList.get(j).size(); k++)
array[index++] = bucketList.get(j).get(k);
bucketList.get(j).clear();
}
}
return array;
}10.4 算法分析
最佳情况：T(n) = O(n * k) 最差情况：T(n) = O(n * k) 平均情况：T(n) = O(n * k)
基数排序有两种方法：
MSD 从高位开始进行排序 LSD 从低位开始进行排序
基数排序 vs 计数排序 vs 桶排序
这三种排序算法都利用了桶的概念，但对桶的使用方法上有明显差异：
- 基数排序：根据键值的每位数字来分配桶
- 计数排序：每个桶只存储单一键值
- 桶排序：每个桶存储一定范围的数值
附：[数据结构二叉树知识点总结]
术语
1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
2. 叶节点或终端节点：度为零的节点；
3. 非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
4. 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
5. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
6. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
7. 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
8. 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
9. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
10. 孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
11. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
12. 满二叉树：一棵深度为k，且有2^k-1 (2的k次方减一)个节点称之为满二叉树
13. 完全二叉树：完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
二叉树的性质
1.在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1),i>=1；
2.深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
3.对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
4.具有n个结点的完全二叉树的深度为K =[log2n」+1(取下整数)
5.有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系： 若I为结点编号则 如果I>1，则其父结点的编号为I/2；
6.完全二叉树，如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子； 如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
7.给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。
8.设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i
二叉树的遍历三种方式，如下：
（1）前序遍历（DLR），首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。简记根-左-右。
（2）中序遍历（LDR），首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。简记左-根-右。
（3）后序遍历（LRD），首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。简记左-右-根。
转自：https://www.cnblogs.com/guoyaohua/p/8600214.html
排序代码及注释
package com.lwohvye.springboot.otherpart.local.sort;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
/**
* @author Hongyan Wang
* @packageName com.lwohvye.springboot.otherpart.local.sort
* @className bubbleSort
* @description 排序算法
* @date 2020/3/20 13:06
*/
public class SortInteger {
public static void main(String[] args) {
int[] array = new int[]{2, 1, 5, 8, 3, 5, 3, 7, 1, 0, 6, 0, 2};
ArrayList<Integer> arrayList = new ArrayList<>() {
{
add(2);
add(1);
add(5);
add(8);
add(3);
add(5);
add(3);
add(7);
add(1);
add(0);
add(6);
add(0);
add(2);
}
};
// int[] bubbleSort = bubbleSort(array);
// int[] selectionSort = selectionSort(array);
// int[] insertionSort = insertionSort(array);
// int[] selectionSort = selectionSort(array);
// int[] mergeSort = mergeSort(array);
// int[] quickSort = quickSort(array, 0, array.length - 1);
// int[] quickSort1 = quickSort1(array, 0, array.length - 1);
// ArrayList<Integer> bucketSort = bucketSort(arrayList, 3);
int[] radixSort = radixSort(array);
}
//----------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 冒泡排序，
* 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；
* 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
* 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
* 重复步骤1~3，直到排序完成。
* 总结：通过相邻比较，将最大的放在最后面
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(n) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)
* @params [array]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 13:08
*/
public static int[] bubbleSort(int[] array) {
if (array.length == 0)
return array;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
for (int j = 0; j < array.length - 1 - i; j++) {
//前面
int before = array[j];
//后面
int after = array[j + 1];
// 后面比前面小，换位
if (before > after) {
array[j] = after;
array[j + 1] = before;
}
}
}
return array;
}
//----------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 选择排序
* n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。具体算法描述如下：
* 初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空；
* 第i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(i..n）。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R[i+1..n)分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区；
* n-1趟结束，数组有序化了。
* 总结：在待排序的数组里找最小的，放在前面
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(n2) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)
* @params [array]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 13:59
*/
public static int[] selectionSort(int[] array) {
if (array.length == 0)
return array;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
// 最小值对应的索引
int minIndex = i;
for (int j = i; j < array.length; j++) {
if (array[j] < array[minIndex])
minIndex = j;
}
//把第一个与最小的换位
int temp = array[minIndex];
array[minIndex] = array[i];
array[i] = temp;
}
return array;
}
//----------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 插入排序
* 一般来说，插入排序都采用in-place在数组上实现。具体算法描述如下：
* 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；
* 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；
* 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；
* 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；
* 将新元素插入到该位置后；
* 重复步骤2~5。
* 总结：每个数与前面排好的做比较，找到前面比自己小，后面比自己大的位置
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(n) 最坏情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)
* @params [array]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 14:48
*/
public static int[] insertionSort(int[] array) {
if (array.length == 0)
return array;
int current;
for (int i = 0; i < array.length - 1; i++) {
//要找位置的
current = array[i + 1];
//参与比较的，current要与前面所有的比较找位置
int preIndex = i;
//前面的一定是有序的，所以在比较到头，或找到比current小的元素时，停止
while (preIndex >= 0 && current < array[preIndex]) {
//前面比current大的，后移一位，空出的可以简单理解为放的current
array[preIndex + 1] = array[preIndex];
preIndex--;
}
//将current放在对应的位置，preIndex处是比current小的
array[preIndex + 1] = current;
}
return array;
}
//----------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 希尔排序
* 我们来看下希尔排序的基本步骤，在此我们选择增量gap=length/2，缩小增量继续以gap = gap/2的方式，这种增量选择我们可以用一个序列来表示，{n/2,(n/2)/2...1}，称为增量序列。希尔排序的增量序列的选择与证明是个数学难题，我们选择的这个增量序列是比较常用的，也是希尔建议的增量，称为希尔增量，但其实这个增量序列不是最优的。此处我们做示例使用希尔增量。
* 先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，具体算法描述：
* 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
* 按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；
* 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。
* 总结：优化插入排序,不断的分组，并组内插入排序，比如index是i和j的在一组，排序后，可能i和j在大数组中位置互换，
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(nlog2 n) 最坏情况：T(n) = O(nlog2 n) 平均情况：T(n) =O(nlog2n)
* @params [array]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 15:34
*/
public static int[] shellSort(int[] array) {
int len = array.length;
//初始gap和temp都是一半
int temp, gap = len >> 1;
//gap每次走完循环减一半
while (gap > 0) {
//这个可以理解为初始两个一组时，以后一个的下标为准，即gap
//接下来就是组内的插入排序，需要注意组间距变成了gap了
for (int i = gap; i < len; i++) {
temp = array[i];
int preIndex = i - gap;
while (preIndex >= 0 && temp < array[preIndex]) {
array[preIndex + gap] = array[preIndex];
preIndex -= gap;
}
array[preIndex + gap] = temp;
}
gap >>= 1;
}
return array;
}
//----------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 归并排序，分治法的一个应用
* 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
* 对这两个子序列分别采用归并排序；
* 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
* 总结：先把数组分成一个一组，然后相邻两组排序，（使用递归分组），然后两组并一组再排序，依此类推
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(n) 最差情况：T(n) = O(nlogn) 平均情况：T(n) = O(nlogn)
* @params [array]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 16:33
*/
public static int[] mergeSort(int[] array) {
int len = array.length;
if (len < 2)
return array;
int mid = len >> 1;
//分成两半
int[] left = Arrays.copyOfRange(array, 0, mid);
int[] right = Arrays.copyOfRange(array, mid, len);
//归并排序代码
return merge(mergeSort(left), mergeSort(right));
}
/**
* @return int[]
* @description 归并排序，将两段排序好的数组结合成一个排序数组
* @params [left, right]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 17:23
*/
private static int[] merge(int[] left, int[] right) {
int leftLen = left.length;
int rightLen = right.length;
int[] result = new int[leftLen + rightLen];
for (int index = 0, i = 0, j = 0; index < result.length; index++) {
if (i >= leftLen) {
//i先放完的话，只放j的
result[index] = right[j++];
} else if (j >= rightLen) {
//同上
result[index] = left[i++];
} else if (left[i] > right[j]) {
//i大，则把j放入结果
result[index] = right[j++];
} else {
//j大，则把i放入结果，保证小的在前
result[index] = left[i++];
}
}
return result;
}
//----------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 快速排序法
* 快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：
* 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
* 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
* 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
* 总结：随机选一个基准，然后比较使得左侧比基准小，右侧比基准大，然后递归
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(nlogn) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(nlogn)
* @params [array, start, end]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 17:50
*/
public static int[] quickSort(int[] array, int start, int end) {
if (start < 0 || end >= array.length || start > end)
return null;
int smallIndex = partition(array, start, end);
if (smallIndex > start)
quickSort(array, start, smallIndex - 1);
if (smallIndex < end)
quickSort(array, smallIndex + 1, end);
return array;
}
/**
* @return int
* @description 快排算法-partition 仔细想了下，还算能理解
* @params [array, start, end]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 18:00
*/
private static int partition(int[] array, int start, int end) {
//基准在范围内随机选择
int pivot = (int) (start + Math.random() * (end - start + 1));
//因为下面比较前先进行了自增，所以这里先减一
int smallIndex = start - 1;
//把基准放到最后，最后会将基准挪到smallIndex对应的位置
swap(array, pivot, end);
for (int i = start; i <= end; i++) {
//用于比较的要比基准小，
//如果出现比基准大的，当再出现小的时，smallIndex对应的应是大的，所以与i位置对应的小的换位
//再此后，保持遇到小的就与大的换位，最后一次将end与smallIndex处的换位
//首先smallIndex前的都是比end小的，之后遇到小的就与smallIndex处的大的换位
//触发换位，显然smallIndex小于i，且所在位置比end要大
// 22-2-26：smallIndex为分界，其左侧都比基准小，而其所在的位置，可能比基准大（i > smallIndex），此时其为与i位置之间，首个比基准大的值
if (array[i] <= array[end]) {
smallIndex++;
//i比smallIndex大，证明出现了end不是最大的情况，
if (i > smallIndex)
swap(array, i, smallIndex);
}
}
return smallIndex;
}
/**
* 这个更简单一些
*
* @param nums
* @param start
* @param end
* @return int
* @date 2022/2/26 5:59 PM
*/
private static int partition3(int[] nums, int start, int end) {
int pivot = (int) (Math.random() * (end - start + 1)) + start; // 随机取一个标识，打乱一下，避免极端情况下（倒序）n^2的问题
swap(nums, start, pivot);
var index = start;
for (int i = start + 1; i <= end; i++) {
if (nums[i] < nums[start]) // 升序，这里带不带等于都行，把等于分到哪一侧好像区别不大
swap(nums, ++index, i); // 把index后移一位，再与其交换，这样index及其前的都不比基准大
}
swap(nums, start, index); // 最后把基准放到index处
return index;
}
/**
* @return void
* @description 交互数组内两个元素的位置
* @params [array, i, j]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 18:04
*/
private static void swap(int[] array, int i, int j) {
int temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
//------------------------------------------------------------------------
/**
* @param array 带排序数组
* @param lo 开始位置
* @param hi 结束位置
* @description 快速排序，这种更易理解一些
*/
static int[] quickSort1(int[] array, int lo, int hi) {
if (lo >= hi) {
return array;
}
int index = partition2(array, lo, hi);
quickSort1(array, lo, index - 1);
quickSort1(array, index + 1, hi);
return array;
}
/**
* @param array 待排序的数组
* @param lo 开始位置
* @param hi 结束位置
* @return 基准值所在位置
*/
static int partition1(int[] array, int lo, int hi) {
//以lo位置为基准
int key = array[lo];
while (lo < hi) {
//寻找右侧比lo小的
while (array[hi] >= key && hi > lo) {
hi--;
}
//将其值赋给lo
array[lo] = array[hi];
//寻找左侧比lo大的
while (array[lo] <= key && hi > lo) {
lo++;
}
//将其值赋给hi
array[hi] = array[lo];
//一次循环新hi换到原lo，新lo赋到新hi，初始lo被赋到key，新lo存在两个位置（hi,lo）
//再一次循环hi赋到多余的lo上（lo），lo被赋到hi上，新lo存在两个位置(hi,lo)
}
//最后将hi位置的lo换成基准的
array[hi] = key;
return hi;
}
/**
* 快速排序，这个比partition1更容易理解
*
* @param array 待排序数组
* @param lo 开始位置
* @param hi 结束位置
* @return int
* @date 2022/2/26 5:05 PM
*/
static int partition2(int[] array, int lo, int hi) {
int i = lo;
int j = hi + 1;
while (true) {
while (array[++i] < array[lo] && i < hi) ; // 向右找一个比l大的
while (array[--j] > array[lo] && j > lo) ; // 向左找一个比l小的
if (i >= j) break;
swap(array, i, j); // 交换两者，前提是i要小于j才行，所以**不能**把上面的break移除，并把while的条件改为i<j
}
swap(array, lo, j); // 把基准放到j的位置。
return j; // 此时，j的位置即为第j个元素
}
//------------------------------------------------------------------
//声明全局变量，用于记录数组array的长度；
static int len;
/**
* 堆排序算法
* 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
* 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；
* 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。
* 总结：根据二叉树的性质，调整父节点为最大值，把最大的放尾部，然后新构建不含尾部的堆
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(nlogn) 最差情况：T(n) = O(nlogn) 平均情况：T(n) = O(nlogn)
*
* @param array
* @return
*/
public static int[] HeapSort(int[] array) {
len = array.length;
if (len < 1) return array;
//1.构建一个最大堆
buildMaxHeap(array);
//2.循环将堆首位（最大值）与末位交换，然后在重新调整最大堆
while (len > 0) {
swap(array, 0, len - 1);
len--;
adjustHeap(array, 0);
}
return array;
}
/**
* 建立最大堆
*
* @param array
*/
public static void buildMaxHeap(int[] array) {
//从最后一个非叶子节点开始向上构造最大堆
for (int i = (len / 2 - 1); i >= 0; i--) { //感谢 @让我发会呆 网友的提醒，此处应该为 i = (len/2 - 1)
adjustHeap(array, i);
}
}
/**
* 调整使之成为最大堆
*
* @param array
* @param i
*/
public static void adjustHeap(int[] array, int i) {
int maxIndex = i;
//如果有左子树，且左子树大于父节点，则将最大指针指向左子树
if (i * 2 < len && array[i * 2] > array[maxIndex])
maxIndex = i * 2;
//如果有右子树，且右子树大于父节点，则将最大指针指向右子树
if (i * 2 + 1 < len && array[i * 2 + 1] > array[maxIndex])
maxIndex = i * 2 + 1;
//如果父节点不是最大值，则将父节点与最大值交换，并且递归调整与父节点交换的位置。
if (maxIndex != i) {
swap(array, maxIndex, i);
adjustHeap(array, maxIndex);
}
}
//--------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 计数排序
* 找出待排序的数组中最大和最小的元素；
* 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项；
* 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）；
* 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1
* 总结：比较简单，新建数组，值对应位置数值加1，最后从数组取出来
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(n+k) 最差情况：T(n) = O(n+k) 平均情况：T(n) = O(n+k)
* @params [array]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/20 21:28
*/
public static int[] countingSort(int[] array) {
if (array.length == 0)
return array;
int bias, min = array[0], max = array[0];
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
//先确定最值
if (array[i] > max)
max = array[i];
if (array[i] < min)
min = array[i];
}
bias = -min;
//定义数组，这里长度为这个，所以放的时候，需要减去min
int[] bucket = new int[max - min + 1];
//先填充0
Arrays.fill(bucket, 0);
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
bucket[array[i] + bias]++;
}
int index = 0, i = 0;
while (index < array.length) {
if (bucket[i] != 0) {
//这里array当成定长的新数组用了
array[index] = i - bias;
bucket[i]--;
index++;
} else {
i++;
}
}
return array;
}
//-------------------------------------------------------------------
/**
* @return java.util.ArrayList<java.lang.Integer>
* @description 桶排序
* 人为设置一个BucketSize，作为每个桶所能放置多少个不同数值（例如当BucketSize==5时，该桶可以存放｛1,2,3,4,5｝这几种数字，但是容量不限，即可以存放100个3）；
* 遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去；
* 对每个不是空的桶进行排序，可以使用其它排序方法，也可以递归使用桶排序；
* 从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来
* 如果递归使用桶排序为各个桶排序，则当桶数量为1时要手动减小BucketSize增加下一循环桶的数量，否则会陷入死循环，导致内存溢出
* 总结：递归调用，最后是一个数字（可重复多个），放在一个桶里，然后顺序取，达到排序
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(n+k) 最差情况：T(n) = O(n+k) 平均情况：T(n) = O(n2)
* @params [array, bucketSize]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/21 9:31
*/
public static ArrayList<Integer> bucketSort(ArrayList<Integer> array, int bucketSize) {
if (array == null || array.size() < 2)
return array;
int max = array.get(0), min = array.get(0);
for (int i = 0; i < array.size(); i++) {
//先确定最值
if (array.get(i) > max)
max = array.get(i);
if (array.get(i) < min)
min = array.get(i);
}
//bucketSize是每个桶放的不同数字数,bucketCount是总共要多少桶
int bucketCount = (max - min) / bucketSize + 1;
//所有桶的数据放这里
ArrayList<ArrayList<Integer>> bucketArr = new ArrayList<>(bucketCount);
ArrayList<Integer> resultArr = new ArrayList<>();
//初始化
for (int i = 0; i < bucketCount; i++)
bucketArr.add(new ArrayList<>());
//get部分确定哪个桶，add把数字放进对应桶内
for (int i = 0; i < array.size(); i++)
bucketArr.get((array.get(i) - min) / bucketSize).add(array.get(i));
//向各个桶
for (int i = 0; i < bucketCount; i++) {
//每个桶只放一个数字
if (bucketSize == 1) {
for (int j = 0; j < bucketArr.get(i).size(); j++)
resultArr.add(bucketArr.get(i).get(j));
} else {
//如果只有一个桶，就把桶的大小减一，保证不止一个桶
if (bucketCount == 1)
bucketSize--;
ArrayList<Integer> temp = bucketSort(bucketArr.get(i), bucketSize);
for (int j = 0; j < temp.size(); j++)
resultArr.add(temp.get(j));
}
}
return resultArr;
}
//--------------------------------------------------------------------------------
/**
* @return int[]
* @description 基数排序
* 取得数组中的最大数，并取得位数；
* arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；
* 对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）;
* 总结：从低位到高位，先每个位按照对应的数字分桶并取出
* 时间复杂度：最佳情况：T(n) = O(n * k) 最差情况：T(n) = O(n * k) 平均情况：T(n) = O(n * k)
* @params [array]
* @author Hongyan Wang
* @date 2020/3/21 10:29
*/
public static int[] radixSort(int[] array) {
if (array == null || array.length < 2)
return array;
//算最值
int max = array[0];
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
max = Math.max(max, array[i]);
}
//算有多少位
int maxDigit = 0;
while (max != 0) {
max /= 10;
maxDigit++;
}
int mod = 10, div = 1;
ArrayList<ArrayList<Integer>> bucketList = new ArrayList<>();
//初始化结果集
for (int i = 0; i < mod; i++)
bucketList.add(new ArrayList<>());
//乘10升一位
for (int i = 0; i < maxDigit; i++, mod *= 10, div *= 10) {
for (int j = 0; j < array.length; j++) {
//低位确定初始集合
int num = (array[j] % mod) / div;
bucketList.get(num).add(array[j]);
}
int index = 0;
for (int j = 0; j < bucketList.size(); j++) {
for (int k = 0; k < bucketList.get(j).size(); k++)
//把根据低位分桶的数据有序放入array中
array[index++] = bucketList.get(j).get(k);
//清空桶
bucketList.get(j).clear();
}
//然后根据高一位进行二次分桶
}
return array;
}
//-------------------------------------------------------------------------
}